Tema 2. La lògica.

INTRODUCCIÓ A LA LÒGICA

Definició: La paraula lògica prové del terme grec “logos” que significa “raó”. La Lògica és doncs la ciència que estudia els raonaments i la seva validesa. Els raonaments poden ser correctes o incorrectes. La lògica, tan sols es preocuparà de que sigui correcte en construcció, no si les premisses són vertaderes o falses. 

Exemple: Tots els A són B, tots els B són C. Per tant, tots els A són C.

Història de la lògica: 
  

• L’origen de la lògica com a ciència formal es remunta a la figura dʼAristòtil (384- 322 a. C.) qui és considerat com el creador de la Lògica Clàssica i primer lògic formal de la historia. El mèrit principal de l’obra dʼAristòtil va consistir en l’anàlisi de les deduccions o inferències considerant nomes la seva estructura, independentment del significat. La lògica aristotèlica enuncia les fórmules lògiques amb paraules del llenguatge ordinari, subjectes a les regles sintàctiques usuals. Va ser de referència durant els 20 segles següents.
• Al segle XVII Leibniz va prendre consciència de que calia elaborar un llenguatge propi de la lògica per a progressar en el seu estudi. Els treballs de Leibniz no van tenir massa difusió 
• 1847. Dos britànics treuen obres de forma independent. George Boole (Anàlisi Matemàtic de la Lògica, 1847), Augustus de Morgan (Lògica Formal, 1847). Aquest va ser l'any de la revolució. Boole és conegut per crear l'àlgebra de Boole (tot aparell consta d'aquesta). 
•  Filòsofs anglesos Bertrand Russel i Alfred North Whitehead (Principia Mathematica, 1910, 1912 i 1913). Té la pretensió de que tota la matemàtica pot ser inferida de la lògica
• Posteriorment, el matemàtic David Hilbert va mostrar els defectes de la magna obra de Russel i Whitehead i va crear un mètode anomenat Metamatemàtica per a estudiar les teories matemàtiques amb el llenguatge lògic. 
• Durant l'últim segle, Kurt Goetel. Va demostrar que hi havia proposicions o teoremes que eren certes i que no es podien demostrar. Problema de Incedibilidad. Alan Turig. Va inventar les màquines de Turing. Màquines mentals que amb 0 i 1 es poden fer tota mena de càlculs. 

LA VERITAT LÒGICA

Definició argument: és un conjunt d’una o més oracions. L’última oració s’anomena conclusió mentre que les anteriors s’anomenen premisses. De forma intuïtiva, les premisses són l’evidència que ens ha de convèncer de la veracitat de la conclusió. És habitual representar els arguments fent un llistat de les premisses i la conclusió  eparant-la mitjançant una línia. Un argument és correcte sempre que si totes les premisses són certes, la conclusió també ho és. Aleshores direm que la conclusió es conseqüència lògica de les premisses

Premissa 1

Premissa 2

-------------

Conclusió

Exemple: 

P1: Tots els homes són mortals 

P2: En Pep és un home

--------------------------

C: En Pep és mortal. 

Definició lògica matemàtica: la lògica matemàtica és la disciplina que (entre d’altres coses) desenvolupa models matemàtics i regles de càlcul per tal d’estudiar la validesa dels raonaments

LÒGICA PROPOSICIONAL

Elements: consta de dos elements fonamentals: les proposicions o enunciats i els connectius o operadors lògics  

• Proposicions: Oracions les quals es pot determinar si són certes o falses. 
• Connextius lògics: Elements que permeten a partir d'una proposició construir una altra. hi ha diversos connectors: 
• La negació: En Pep és mortal (p). En Pep no és mortal (¬ p)
• La conjunció: Na Cira i en Sergi saben matemàtiques  (p /\  q)
• Disjunció: Na Cira o en Sergi saben matemàtiques   (p \/q)
• Condicional: Si n'Ana aprova mates, aleshores se'n va de festa. ( p --> q )
• Bicondicional: Anirem al pac si, i només si no plou (p <--> q)

Taules de veritat: La interpretació o significat d’una proposició és el seu valor de veritat, és a dir, si és certa o falsa. Per determinar-ho, assignarem a cada lletra proposicional un valor de veritat (V simbolitzarà vertader, mentre que F simbolitzarà fals). Són útils per determinar si un determinat argument és correcte o no. Per fer això el primer que hem de fer és determinar els valors que fan que totes les premisses siguin vertaderes. Per aquests valors hem de verificar si la conclusió és vertadera o falsa. Si en tots els casos, la conclusió és vertadera, l’argument serà correcte

Taula de veritat per als connectius: 

p	q	(p /\ q)	(p \/ q)	(p-->q)	(p <-->q)
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

Mètode axiomàtic: Regles d'inferència. És un mètode mecànic per tal de resoldre problemes que ens interessen. 

La manera de veure si un argument és o no correcte consisteix en buscar un contraexemple: un cas en que, tot i que les premisses són certes, la conclusió és falsa. Exemple: 

 Si ets milionari, aleshores tens diners per comprar-te un cotxe.  (p -->q)

No ets milionari ( ¬ p )

Aleshores, no tens diners per comprar-te un cotxe.  (¬ q)

Aquest raonament és incorrecte ja que pot succeir que les premisses siguin correctes la conclusió falsa

La correcció d’un raonament també es pot demostrar usant regles lògiques conegudes (regles d’inferència):  

- Modus ponens:                    

(p --> q) 

 p

---------------

 q

- Modus tollens:                   

(p --> q)

¬ q

---------------

¬ p

- Regla de transitivitat:       

( p--> q)

(q --> r)

---------------

(p --> r)

TEORIA DE CONJUNTS

un conjunt és un agrupament de coses que tenen alguna cosa en comú o no. Podem definir un conjunt per extensió (dilluns, dimarts, dimecres...) i per comprensió (dies de la setmana). 

Un conjunt se sol representar amb una lletra majúscula i la seva descripció entre claus, bé sigui per extensió, H ={gener, febrer...}, o per comprensió, H={mesos de l'any}. Cada membre d'un conjunt s'anomenta element del conjunt. 

Una forma gràfica de representar un conjunt consisteix a dibuixar una línia que rodeja tots els seus elements (diagrama de Venn). Aquesta representació es fa servir habitualment amb infants. Apareixen una sèrie de relacions importants que el nen ha d’anar comprenent:  

• Pertinença: Un element pertany a un conjunt (Pilotes/porteries)
• Inclusió: Un conjunt dins un conjunt    p--> q
• Complementari: pars, el complementari són els impars: ¬p
• Intersecció: Objectes vermells i/o objectes rodons    p /\p
• Unió: Tots els objectes   p \/ q

Correspondències entre conjunts: 

Donats dos conjunts A i B, s’estableix una correspondència entre A i B sempre que s’assignen elements de B a A. Això es pot representar mitjançant un diagrama de fletxes o mitjançant un conjunt de parelles ordenades, inclòs en el producte cartesià dʼA i B. Cal dir que no tots el elements tenen perquè tenir “parella”: en poden tenir vàries o cap ni una.

Dʼentre totes les correspondències, n’hi ha una de destacada que és la correspondència un a un o aplicació bijectiva. En aquest cas, cada element té una sola parella i cap element es queda sense parella: no sobra ni en falta cap. 

 Relacions: Classificació i seriació

- Classificació: quan, en comparar tots el elements d’un conjunt segons una determinada qualitat, agrupem els que són iguals respecte a aquesta qualitat, és a dir, els que són equivalents. Ex: podem classificar als nens de la classe pel color del seu cabell

- Ordenació:  Una seqüència en funció d’algun paràmetre físic o alguna qualitat gradual. Exemple: de més petit a més gran; de més agut a més greu.

-     - Seriacions: Vermell, verd groc... És seguir un patró. Són seqüències o patrons que es repeteixen però que no tenen perquè tenir unes característiques en concret.