Teoria

TEMA 1. Ensenyar matemàtiques de 3 a 6 anys

L'objectiu és vetllar perquè els nens i nenes organitzin el coneixement de les coses que els envolten.

Els continguts clau que es donaran seran dos: El concepte de quantitat (comparar quin és més gros/petit; repartir; igualar...) i el coneixement de l'espai i del temps (ordenació de quantitats i nombres; comparar quantitats independentment de l'espai que ocupen...).

Pel que fa a l'ensenyament-aprenentatge, ho farem en un marc informal i haurem de fer la intervenció sobre l'alumne amb forma de pregunta o invitació, per que així l'alumne pensi i s'expressi.

En quant als infants he de dir que tenen unes característiques generals: troben solucions a les coses que els procupen, fan judicis incomplets, són egocentristes, realitzen un aprenentatge global. Però també depenent de l'edat tenen unes característiques específiques. 

- Als 3/4 anys: necessiten treballar sobre coses reals, tan sols poden classificar entre 8 i 12 com a molt i en quant als nombres ens limitarem  a grups de 3/4 objectes. 

- Als 4/5 anys: ja fan servir representacions, dibuixos...; augmenta la capacitat d'actuar mentalment; convé disposar de material estructurat. 

- Als 5/6 anys: Augmenta la capacitat per situar-se en l'espai i temps; ordenen molts més elements; lluita entre percepció i raonament. 

Aplicarem tres procediments en aquesta etapa: observació (recerca de les característiques d'un objecte o situació i expressar-les), relació (comparar, ordenar, classificar...) i resolució de problemes( desenvolupar estratègies per a la resolució de problemes).

Els conceptes que han de conèixer en aquest cicle són: termes per classificar, expresions no numèriques que impliquen quantitat (molt, poc...), nombres fins al 9, termes per explicar mesures, termes per designar formes i cossos geomètrics.

Tots aquests conceptes, els conceptualitzaran a través del llenguatge, verbalitzant les relacions que es van fent i  mitjaçant mapes conceptuals.

Pel que fa a l'ensenyament ho podrem dur a terme mitjançant diferents models:

- Treball per racons

- En gran grup dirigit per la mestra o mestre

- Treball per projectes

- Ús del llibre de text i fitxes de treball

- Intervencions puntuals del mestre o la mestra.

Tema 2. La lògica.

INTRODUCCIÓ A LA LÒGICA

Definició: La paraula lògica prové del terme grec “logos” que significa “raó”. La Lògica és doncs la ciència que estudia els raonaments i la seva validesa. Els raonaments poden ser correctes o incorrectes. La lògica, tan sols es preocuparà de que sigui correcte en construcció, no si les premisses són vertaderes o falses. 

Exemple: Tots els A són B, tots els B són C. Per tant, tots els A són C.

Història de la lògica: 
  

• L’origen de la lògica com a ciència formal es remunta a la figura dʼAristòtil(384- 322 a. C.) qui és considerat com el creador de la Lògica Clàssica i primer lògic formal de la historia. El mèrit principal de l’obra dʼAristòtil va consistir en l’anàlisi de les deduccions o inferències considerant nomes la seva estructura, independentment del significat. La lògica aristotèlica enuncia les fórmules lògiques amb paraules del llenguatge ordinari, subjectes a les regles sintàctiques usuals. Va ser de referència durant els 20 segles següents.
• Al segle XVII Leibniz va prendre consciència de que calia elaborar un llenguatge propi de la lògica per a progressar en el seu estudi. Els treballs de Leibniz no van tenir massa difusió 
• 1847. Dos britànics treuen obres de forma independent. George Boole (Anàlisi Matemàtic de la Lògica, 1847), Augustus de Morgan (Lògica Formal, 1847).Aquest va ser l'any de la revolució. Boole és conegut per crear l'àlgebra de Boole (tot aparell consta d'aquesta). 
•  Filòsofs anglesos Bertrand Russel i Alfred North Whitehead (Principia Mathematica, 1910, 1912 i 1913). Té la pretensió de que tota la matemàticapot ser inferida de la lògica
• Posteriorment, el matemàtic David Hilbert va mostrar els defectes de la magna obra de Russel i Whitehead i va crear un mètode anomenatMetamatemàtica per a estudiar les teories matemàtiques amb el llenguatge lògic. 
• Durant l'últim segle, Kurt Goetel. Va demostrar que hi havia proposicions o teoremes que eren certes i que no es podien demostrar. Problema de Incedibilidad. Alan Turig. Va inventar les màquines de Turing. Màquines mentals que amb 0 i 1 es poden fer tota mena de càlculs. 

LA VERITAT LÒGICA

Definició argument: és un conjunt d’una o més oracions. L’última oració s’anomena conclusió mentre que les anteriors s’anomenen premisses. De forma intuïtiva, les premisses són l’evidència que ens ha de convèncer de la veracitat de la conclusió. És habitual representar els arguments fent un llistat de les premisses i la conclusió  eparant-la mitjançant una línia. Un argument és correcte sempre que si totes les premisses són certes, la conclusió també ho és. Aleshores direm que la conclusió esconseqüència lògica de les premisses

Premissa 1

Premissa 2

-------------

Conclusió

Exemple: 

P1: Tots els homes són mortals 

P2: En Pep és un home

--------------------------

C: En Pep és mortal. 

Definició lògica matemàtica: la lògica matemàtica és la disciplina que (entre d’altres coses) desenvolupa models matemàtics i regles de càlcul per tal d’estudiar la validesa dels raonaments

LÒGICA PROPOSICIONAL

Elements: consta de dos elements fonamentals: les proposicions o enunciats i elsconnectius o operadors lògics  

• Proposicions: Oracions les quals es pot determinar si són certes o falses. 
• Connextius lògics: Elements que permeten a partir d'una proposició construir una altra. hi ha diversos connectors: 
• La negació: En Pep és mortal (p). En Pep no és mortal (¬ p)
• La conjunció: Na Cira i en Sergi saben matemàtiques  (p /\  q)
• Disjunció: Na Cira o en Sergi saben matemàtiques   (p \/q)
• Condicional: Si n'Ana aprova mates, aleshores se'n va de festa. ( p --> q )
• Bicondicional: Anirem al pac si, i només si no plou (p <--> q)

Taules de veritat: La interpretació o significat d’una proposició és el seu valor de veritat, és a dir, si és certa o falsa. Per determinar-ho, assignarem a cada lletra proposicional un valor de veritat (V simbolitzarà vertader, mentre que F simbolitzarà fals). Són útils per determinar si un determinat argument és correcte o no. Per fer això el primer que hem de fer és determinar els valors que fan que totes les premisses siguin vertaderes. Per aquests valors hem de verificar si la conclusió és vertadera o falsa. Si en tots els casos, la conclusió és vertadera, l’argument serà correcte

Taula de veritat per als connectius: 

p	q	(p /\ q)	(p \/ q)	(p-->q)	(p <-->q)
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

Mètode axiomàtic: Regles d'inferència. És un mètode mecànic per tal de resoldre problemes que ens interessen. 

La manera de veure si un argument és o no correcte consisteix en buscar un contraexemple: un cas en que, tot i que les premisses són certes, la conclusió és falsa. Exemple: 

 Si ets milionari, aleshores tens diners per comprar-te un cotxe.  (p -->q)

No ets milionari ( ¬ p )

Aleshores, no tens diners per comprar-te un cotxe.  (¬ q)

Aquest raonament és incorrecte ja que pot succeir que les premisses siguin correctes la conclusió falsa

La correcció d’un raonament també es pot demostrar usant regles lògiques conegudes (regles d’inferència):  

- Modus ponens:                    

(p --> q) 

 p

---------------

 q

- Modus tollens:                   

(p --> q)

¬ q

---------------

¬ p

- Regla de transitivitat:       

( p--> q)

(q --> r)

---------------

(p --> r)

TEORIA DE CONJUNTS

un conjunt és un agrupament de coses que tenen alguna cosa en comú o no. Podem definir un conjunt per extensió (dilluns, dimarts, dimecres...) i per comprensió (dies de la setmana). 

Un conjunt se sol representar amb una lletra majúscula i la seva descripció entre claus, bé sigui per extensió, H ={gener, febrer...}, o per comprensió, H={mesos de l'any}. Cada membre d'un conjunt s'anomenta element del conjunt. 

Una forma gràfica de representar un conjunt consisteix a dibuixar una línia que rodeja tots els seus elements (diagrama de Venn). Aquesta representació es fa servir habitualment amb infants.Apareixen una sèrie de relacions importants que el nen ha d’anar comprenent:  

• Pertinença: Un element pertany a un conjunt (Pilotes/porteries)
• Inclusió: Un conjunt dins un conjunt    p--> q
• Complementari: pars, el complementari són els impars: ¬p
• Intersecció: Objectes vermells i/o objectes rodons    p /\p
• Unió: Tots els objectes   p \/ q

Correspondències entre conjunts: 

Donats dos conjunts A i B, s’estableix una correspondència entre A i B sempre que s’assignen elements de B a A. Això es pot representar mitjançant un diagrama de fletxes o mitjançant un conjunt de parelles ordenades, inclòs en el producte cartesiàdʼA i B. Cal dir que no tots el elements tenen perquè tenir “parella”: en poden tenir vàries o cap ni una.

Dʼentre totes les correspondències, n’hi ha una de destacada que és la correspondència un a un o aplicació bijectiva. En aquest cas, cada element té una sola parella i cap element es queda sense parella: no sobra ni en falta cap. 

 Relacions: Classificació i seriació

- Classificació: quan, en comparar tots el elements d’un conjunt segons una determinada qualitat, agrupem els que són iguals respecte a aquesta qualitat, és a dir, els que són equivalents. Ex: podem classificar als nens de la classe pel color del seu cabell

- Ordenació:  Una seqüència en funció d’algun paràmetre físic o alguna qualitat gradual. Exemple: de més petit a més gran; de més agut a més greu.

-     - Seriacions: Vermell, verd groc... És seguir un patró. Són seqüències o patrons que es repeteixen però que no tenen perquè tenir unes característiques en concret.

Tema 3. Els nombres i operacions

INTRODUCCIÓ


El nombre: Serveix per designar quantitat i hora. És a dir, no es res tangible, és una construcció mental. Molta gent sol confondre el coneixement del nombre amb la seva simbolització. Això és així ja que de vegades, estem amb nen petits i pensem que perquè reconegui que això “3” és un tres, no vol dir que sàpiga què son els nombres

Tipus de nombres: Hi ha molts tipus de nombres: els naturals, racionals, enters, irracionals, complexes... però bàsicament a infantil ens centrarem en els nombres naturals. És a dir, 1,2,3... Els nombres negatius al principi no s’hauria d’introduir però en la realitat ho veuen, per exemple, quan entren als edificis i es troben al -1.

Aritmètica: Històricament s’ha confós la matemàtica amb l’aritmètica. Aquesta és una petita part de les matemàtiques que estudia les propietats dels nombres i les seves operacions. En particular, a infantil, trobem la introducció a la suma i la resta. 

EL NOMBRE I LA SEVA REPRESENTACIÓ

Usos del nombre: L’infant rep molts imputs numèrics des que neix. Per tant, és necessari que coneguem els contexts numèrics que són els que coneix l’infant

• Seqüència verbal: és quan es fa servir la seqüència en ordre (un, dos, tres, quatre...). Es pot usar per trobar el cardinal d’un conjunt; la posició que ocupa un element en una ordenació; per fer operacions; per mesurar...cardinal, ordinal, operacions, mesurar
• Comptar: quan cada nombre s’associa amb un element d’un determinat conjunt.
•  Cardinal: quan volem saber “quants n’hi ha”.  Jo sóc el primer de la llista,
•  Ordinal: quan ens diuen la posició relativa d’un element dins d’una ordenació.
• Etiquetes (nominal): quan serveixen per etiquetar els elements d’un conjunt. número de mòbil, número de casa. Entenen que el número 4 que està a la casa no vol dir que hi ha 4 objectes.

 

Estratègies per quantificar: 

Com a professors de matemàtiques ens hem de preocupar que aprenguin a comptar, els nombres cardinals i ordinals.

Per saber que fan be el procés, quan hi ha cinc elements, posen el dit damunt i fan: un, dos, tres, quatre, cinc. Com no hi ha res mes per seguir desprès s’aturen i tornen a repetir el 5.

• Quantitats petites: 
• Primer comptar tocant.
• Comptar assenyalant
• Subtilitzant: 
• Quantitats grans (>7-8)
•  Primer compten tocant
• Desprès compten assenyalant
• Finalment, calculant. (de dos en dos, de tres en tres...)

Existeixen diverses formes de quantificar; d’assignar un nombre a una quantitat:

• Percepció global del nombre (subitització). Si el tamany es pot percebre amb un cop d’ull, el nombre apareix en la nostra ment de forma instantània.
• Comptatge. 
   Per conjunts nombrosos en els que la subitització no ens serveix, fem servir el procés de comptatge; el nombre amb el que es finalitza els procés de comptar ens dóna el cardinal del conjunt
• Estimació. 
   Hi ha situacions en les que no es pot o no és necessari comptar. En aquest cas, podem fer una aproximació o estimació
• Càlcul. 
   El cardinal d’un conjunt també es pot trobar usant les quatre propietats elementals (suma, resta, multiplicació i divisió) i les seves propietats
• 
  

Sistemes de Numeració


Hi ha diferents formes de representar els nombres i per tant hi ha diferents sistemes de numeració. Als infants se’ls ha d’ensenyar el nostre sistema de numeració (el decimal) per tal que es puguin moure per la nostre societat i per comunicar-se.

En general podem distingir entre sistemes de numeració no posicionals (com l’egipci o el romà) y sistemes posicionals (com el decimal que emprem en l’actualitat). En els sistemes no posicionals, cada símbol representa una quantitat determinada independentment de la posició que ocupa.

35233 =       3 Desenes de miler + 5 milers + 2 centenes + 3 desenes + 3 unitats.

                        30.000               + 5000     + 200            + 30              + 3

                        3x10⁴                 + 5x10³   +2x10²         + 3x10           + 3 

És additiu però s’anomena un sistema multiplicatiu. Per passar de les unitats a les desenes necessitem 10 grups d’unitats. Per passar de les desenes a les centenes necessitem 10 grups de desenes. 

BLOCS MULTIBASE


Material pels infants per recolzar-se amb les centenes, desenes, unitats... Són útils per aprendre a sumar 


Informació envers els blocs multibase


La suma: 

La resta: 

TREBALLAR AMB UNA ALTRA BASE

Fábrica de bombons: Nomes saben contar fins a 4. Així que:

• Unitats
• Bossetes tan sols seran de 4 bombons.
• Capses son de 4 bossetes 
• Sacs són de 4 capses

SACS	CAPSES	BOSSETES	UNITATS
2	3	1	2

2312 (base 4) = 182 en base 10.

2312 =          2x64 + 3x16 + 1x4 + 2 = 182

                        2x4³ + 3x4² + 1x⁴ + 2 = 182

                        128 + 48 + 4 + 2 = 182

Suma:   2312 + 332

Passar de base 10 a base 4: 

Tema 4. La mesura

INTRODUCCIÓ: MESURA I REALITAT


Idea intuitiva de magnitud i mesura


Les paraules magnitud i mesura ens suggereixen idees com “quantitat”, 

“amplitud”, “mesurar” o “dimensions” entre dʼaltres. En la vida quotidiana 

sʼutilitzen aquests termes amb diversos significats, però sempre està la noció de 

“quelcom quantificable”.

Una primera aproximació al concepte de magnitud seria “quelcom que es pugui mesurar”. I, què significa mesurar? Podríem dir que mesurar consisteix en “obtenir un nombre que representi quanta quantitat hi ha dʼuna determinada magnitud”.

Per un mestre o mestra, serà necessari:

• Un apropament a lʼestructura matemàtica abstracta que permeti fonamentar aquests continguts. 
• Una presa de consciència de la manera com lʼinfant ha de prendre contacte amb distintes experiències de comparació i quantificació que el portaran poc a poc a la comprensió del procés de mesura 
• Ús adequat dʼunitats i instruments de mesura lligats a diferents magnituds: longitud, superfície, capacitat-volum, massa-pes, temps y diners.

Origen

És una activitat molt antiga. Primitivament, no es feien mesures, es feien comparacions directes i això és el que fan els infants. (ex. Això passarà per la porta? Ho intenten…)

El conflicte principal a l’hora d’establir a mesura és quan elegim un patró. Lʼelecció dels patrons o unitats de mesura va seguir una evolució que passa per diferents períodes:

• Període Antropomètric. Les unitats escollides es basaven en el propi cos. Polzades, les passes, els peus...
• Període Ergonomètric: Fer servir unitats en funció de l’ús que fas de les coses. Exemple: el barril de petroli, la corda, la rova, la faneca.
• Període convencional: Totes les nacions es posen d’acord per marcar un sistema internacional d’unitats. La més problemàtica ha set el temps. El metre, el kg, el segon.

Els nens comencen per comparar les coses amb parts del seu cos; 

posteriorment prenen objectes de referència; i, finalment, se nʼadonen de la 

necessitat dʼadoptar una unitat de mesura comú per tal de comunicar-se amb la 

resta dʼinfants

Situacions de mesura:

• Comparació directa. Es dóna quan comparem dos objectes directament. Ex: Tens dos llapis i dius: quin és més llarg? No estem quantificant. 
• Comparació indirecta. Pot passar que dos objectes no es puguin comparar directament entre si o que sigui difícil fer-ho. Es pot utilitzat un element que faixi d'intermediari per tal d'establir aquesta comparació. Ex:Vull saber quin dels dos arbres té un tronc més gruixut. Amb infants ho podem fer amb una corda, amb els braços... Agafar una poma i una taronja. Posen les dues a una balança.
• Necessitat d’ordenar i classificar. Quan es comparen més de dos objectes respecte d'una determinada magnitud, a vegades és necessari organitzar-los segons aquest criteri. Ex: Quan tenim molts objectes iguals ho podem classificar per tamanys. Ex: regletes de Cuisenaire.
• Necessitat d'unitat de mesura: T’has de posar d’acord en una unitat patró. Hi ha casos en que directament no pots fer una comparació. Quina classe és més gran? La dels peixets o la dels crancs? Contant les rajoles. El pes es pot fer amb saquets. Posem a una balança els saquets a un costat i l’objecte a l’altre costat. Ex: la poma pesa 7 saquets. 
• Necessitat de fraccionar la unitat
• Necessitat de fraccionar la unitat
• Necessitat d'un instrument de mesura

CONCEPTES I PROCEDIMENTS RELACIONATS AMB LES MAGNITUDS I LA SEVA MESURA

Conceptes bàsics:

• Magnitud: qualitat o propietat que pot ser quantificada i mesurada. Es pot comparar usant nombres. La llargada, la superfície, el volum, el pes...  Unes són més físiques (longitud) que altres.
• Quantitat: la quantitat de magnitud (longitud, pes...) que presenta un objecte. És el que et permet dir que aquest és més llarg que l’altre, encara que ho mesuris amb centímetres o amb una altra mesura.
• Mesura: el valor numèric que li assignes a la quantitat.
• Unitat de mesura: quantitat que sʼadopta com a referència per mesurar una magnitud en un objecte. La mesura assignada serà el nombre de vegades que la quantitat de magnitud de lʼobjecte contingui la unitat. Unitat o patró a la qual està referida la mesura. Quan dic 25º dic 25º centígrads.

En la vida quotidiana es sol identificar el terme “quantitat” amb  

el terme “mesura”, però hem dʼentendre que una quantitat de magnitud (per 

exemple, la longitud dʼun objecte) existeix independentment de que la mesurem 

o no.

Exemples:

• El Joan pesa 70 kg: magnitud, el pes; Mesura 70; Unitat el Kg; la quantitat és molt o poc
• Aquesta cançó dura 3 minuts i mig. Magnitud: la durada; la quantitat: el temps; la mesura: 3.5; la unitat els minuts

Les magnituds contínues i discretes:

• Continues: El pes: 1mg, 2,4grams... la longitud: 3 cm, 3,1... en general les magnituds físiques són contínues. Prenen valors reals, pots variarles contínuament: una cosa la pots estirar de forma contínua, no a salts... Temperatura, pes, temps, longitud...
• Discretes: són aquelles que només poden prendre valors sencers i es mesuren amb nombres naturals ja que consten dʼunitats aïllades i indivisibles. Els diners.  Encara que tinguis cèntims, més petits no en pots tenir. És un número sencer. Ex2: La quantitat d'alumnes d'una aula. 

Mètodes de mesura:

• Directes: Quan poden agafar la unitat patró i contar-la quantes vegades hi ha. Ex. Jo tinc una capsa, miro quantes vegades puc posar la capsa a la taula (5). Comptant rajoles. Aquest és més llarg que aquest, hi queb menys líquid...Principalment es treballarà la longitud i el pes
• Indirectes: La mateixa mesura d’abans,  però en canvi de comptar totes les rajoles, compto les d’un costat, les d’altre i multiplico. És a dir, quan fem càlculs. Amb el temps no poden fer comparacions indirectes. 

Exemples : lʼàrea dʼuna classe es pot trobar de forma directa comptant les rajoles. També es pot trobar de forma indirecta a través de les mesures de les dues dimensions (llarg i ample), emprant la fórmula que tots coneixem

ESTUDI D'ALGUNES MAGNITUDS


Quan ja tenen assolides les maneres de fer una mesura, agafen un patró per poder fer comparacions, mesures... Amb pams per la longitud, amb peses per pes.  

A infantil s’empraran unitats no convencionals.

La longitud és la magnitud més assequible a l’etapa d’Educació Infantil; el pes és més complicada ja que s’associa amb el volum; la capacitat també és una magnitud molt complexa ja que la forma dels recipients enganya la percepció dels infants; el temps és la magnitud més complicada de totes ja que no és fàcil realitzar comparacions directes o indirectes. 

LONGITUD

• Llenguatge associat. Hi ha molts termes habituals aplicats a la longitud: llarg-curt, ample-estret, alt-baix, gran-mitjà-petit, gruixut-prim, prop-lluny, més/menys llarg que, tan llarg com, etc. Cal distingir entre longitud (dʼun objecte) i distància (entre objectes), i sʼha de presentar diverses activitats per treballar ambdós significats
• Unitats de mesura.  
• La unitat de mesura de longitud en el S.I. és el metre, amb els seus corresponents múltiples i submúltiples (mm, dm, m, dam, hm, km). 
• Lʼestructura dʼaquest sistema de mesura es correspon amb la del sistema de numeració decimal, el que permet que ambdós continguts es recolzin mútuament en el procés dʼaprenentatge
• Instruments. Els instruments utilitzats per mesurar longituds sʼadapten també al context, donant lloc a una diversitat dʼinstruments: regla, cinta mètrica, metre de fuster, peu de rei...
• Procediments de mesura directes i indirectes. 
• Els mètodes directes consisteixen en comprovar directament, normalment a través dʼun instrument de mesura, quantes vegades està continguda o es pot superposar la unitat sobre la longitud de lʼobjecte a mesurar. A vegades això no és possible i sʼutilitzen relacions geomètriques per calcular una mesura a partir dʼunes altres. 
• Els principals procediments indirectes de mesura de longitud es basen en el Teorema de Thales, en el Teorema de Pitàgores o en el càlcul de longituds dʼarc (per superfícies corbes).

SUPERFÍCIE

• Llenguatge associat. Per parlar del tamany en relació amb la superfície sʼacostumen a fer servir termes com extens, ampli-reduït, gran-mitjà-petit, etc.
• Unitats de mesura. Lʼàrea o superfície és una magnitud de dues dimensions, derivada de la longitud. Així és com es sol considerar, per la qual cosa, les unitats en el S.I. vénen donades en funció de les unitats de longitud: el metre quadrat (m2) es defineix com la superfície dʼun quadrat de costat 1 metre. Aquest té associat els seus múltiples i submúltiples. En algunes situacions es fan servir altres unitats com per exemple la hectàrea (un hectòmetre quadrat) o lʼàrea (un decàmetre quadrat).
• Comparació directa i indirecta. Per tal de comparar dues superfícies de forma directa es poden superposar o, en el cas de que no tinguin una forma semblant, pavimentar lʼuna sobre lʼaltra (“tallar i enganxar”). Això es pot fer perque lʼàrea no varia amb els canvis de forma, és a dir, es conserva. En la pràctica, no acostuma a ser possible la comparació directa i es sol recòrrer a recobrir una superfície amb lʼaltra o també a quadricular les superfícies (que implica ja un procés de mesura).
• Procediments de mesura directes i indirectes. La mesura directa de superfícies sʼefectuaria mitjançant un recobriment o quadriculant la superfície a mesurar. Aquest mètode pot resultar llarg i  tediós tot i que necessari a lʼinici de lʼaprenentatge. És per això que el més habitual és mesurar lʼàrea de forma indirecta a través de mesures de longitud (fet que dóna lloc a les conegudes fórmules per lʼàrea dʼalgunes figures)

VOLUM/ CAPACITAT

• Llenguatge associat. Els termes més usuals són: ple-buit, hi cap més-hi cap menys, gran-mitjà-petit, espaiós-reduït,...
• Distinció capacitat/ volum. Matemàticament són indistingibles, però presenten matisos que els diferencien en el seu ús quotidià: sʼacostuma a entendre que el volum és el que ocupa un cos, i la capacitat és el que hi cap en un recipient o espai buit
• Unitats. La dualitat volum-capacitat dóna lloc a dos sistemes de mesura diferents. Usualment es fa servir el litre com a mesura de capacitat, amb els seus múltiples i submúltiples, mentre que pel volum es fa servir el metre cúbic (m3). Cal comentar que ambdós sistemes es poden fer servir sempre. Lʼequivalència entre els dos sistemes sʼestableix a partir de la igualtat: 1 litre = 1 decímetre cúbic (1l = 1dm3) 
• Comparació i mesura. A Primària es poden realitzar comparacions directes o indirectes de volum o de capacitat, aquesta última mitjançant el trasvassament de líquids. També es poden realitzar mesures directes de capacitat amb unitats no convencionals i convencionals, mitjançant lʼús de recipients graduats o fent servir un determinat recipient com a unitat de mesura

MASSA/ PES

• Llenguatge associat. Els termes més usuals són pesat-lleuger i els relatiusa unitats i instruments.
• Diferència entre massa i pes. no són la mateixa magnitud. La massa podríem dir que és la “quantitat de matèria” dʼun cos, mentre que el pes és la força amb que la terra lʼatrau. si estiguéssim a la Lluna, el nostre pes variaria (seríem més lleugers), però la nostra massa quedaria invariant
• Unitats. En el S.I. la massa és la única magnitud que per tradició te una unitat amb prefixe, el kilogram, basada en el gram. Els múltiples i submúltiples segueixen el sistema decimal, al igual que la majoria de magnituds
• Comparació i mesura: Dificultats específiques. Quan tenen lloc les primeres experiènces de percepció i comparació del pes, existeix el perill dʼuna associació errònia entre els conceptes de pes i de volum: els nens pensen que lʼobjecte més gran pesa més. A través de situacions dʼaprenentatge adequades els nens sʼadonaran que no és així. A més, el pes és una magnitud difícil de percebre (no es veu) i difícil de comparar, en el cas en que les diferències de pes són petites. És per això que des de pràcticament un principi es fa ús de la balança (lʼinstrument de mesura per excel·lència). Amb ella, els infants poden fer primer comparacions directes i indirectes, i després realitzar medicions amb unitats no convencionals (bossetes plenes de sorra, llaunes...) i convencionals (peses de diferents tamanys).

TEMPS

• Llenguatge associat. Hi ha nombroses paraules que fan referència a algun aspecte temporal: ahir-avui-demà, abans, després, ara, durant, aviat-tard, molta-poca estona, ràpid-lent, hora, dia, setmana, any, rellotge...
• Característiques diferencials i dificultats que presenta.
• És una magnitud que presenta una gran dificultat de comprensió per als infants a que no pot ser observat directament, sinó a través dʼinstruments
• No es pot percebre pel sentits. Com a conseqüència, els nens triguen molt de temps en apreciar-lo
• Aspectes necessaris per a l'elaboració de la noció de temps: ordre i durada. Primer es va desenvolupant la idea dʼordre, i després la de durada (que donarà lloc a la mesura del temps). No obstant, des de molt petit lʼinfant es familiaritza amb paraules relatives a la durada del temps (“una estona”, “una hora”, “dos dies”, etc.) tot i que no sàpiga el que signifiquen realment. El nen ha de comprendre: 
• Que hi ha sèries de successos que ocorren en ordre temporal
• Que entre successos diferents hi passen intervals de temps amb una durada determinada,.
• La mesura del temps: unitats i instruments. 
• La unitat de temps en el S.I. és el segon. Els seus múltiples immediats són el minut i lʼhora, però nʼhi ha dʼordre superior que no corresponen al sistema sexagesimal: el dia, la setmana, el mes, lʼany, el segle, el mil·leni,...
• Lʼinstrument usual de mesura és el rellotge, que pot ser analògic o digital. El model digital és el més senzill però no es correspon sempre amb el llenguatge que fem servir. El model analògic és el més difícil dʼinterpretar, ja que requereix un domini de la lateralitat, una distinció de les dues busques i una combinació de posicions, amb el que la seva lectura és difícil. Altres instruments no convencionals que poden servir per mesurar el temps són els rellotges de sol, els de sorra, el goteig dʼuna aixeta...

DINERS

• Característiques diferencials. 
• És una magnitud discreta, tot i que la unitat principal acostuma a admetre fraccionament amb un límit.
• No requereix un procediment de mesura:  el preu dʼuna cosa no sʼobté mesurant, sinó llegint una etiqueta o preguntant
• El diner suposa un sistema dʼintercanvis fonamentat en símbols materials (monedes i bitllets dʼaparences diferents, segons el seu valor).
• Tractament a l'aula. Es planteja en tres passos: 
• Reconeixement de monedes
• Establiment dʼequivalències entre elles 
• La utilització dels diners en situacions pràctiques

Tema 5. Geometria I. Orígens

LES FORMES

La fascinació per les formes es remonta a l'antiguitat des dels egipcis:

• La ciència que estudia les formes és la geometria: Geo- = terra;  - Metria = mesura. 
• Els antics egipcis van ser els primers en desenvolupar-la amb finalitats pràctiques. 
• Teníen mètodes per calcular àrees i volums per quan s'inundava el Nil. 

Papir de Ahmes: 2x33 m (a.C) Conté 87 problemes matemàtics que resumeixen en saber matemàtic dels egipcis. 

La geometría com a ciència: els grecs

• Els grecs van desenvolupar la geometria juntament amb la lògica (demostracions)
• Són els primers en considerar formes ideals, que es poden modificar amb regla i compás.
• Pitàgores, Euclidi o Arquímedes són els sabis grecs més importants. 

PITÀGORES

Va ser el primer en considerar la matemàtica com a clau per tal d'explicar la natura. Va nèixer a Samos (569 a.C) i va fundar l'escola pitagòrica, un conte més aviat místic. Els pitagòrics creien que:

• El món està fonamentat en els nombres: 
• 1 = Font primària de totes les coses
• 2 i 3 = Principis masculí i femení
• 4 = Armonia. També els 4 elements 
• 10 = 1 + 2 + 3 + 4
• Reconeixien 9 cossos celestes. Sol, Luna, Mercuri, Venus, Terra, Mart, Júpiter i Saturn.
• El desè era anti-terra. 
• Van fer descobriments matemàtics molt importants: 
• Demostració Teorema de pitàgores
• Precursors dels nombres irracionals
• Van trobar els únics 5 poliedres regulars
• Nombres figurats. 

Pitàgores i la música

• Fou el primer en elaborar una teoria matemàtica de la música. 
• Van fer senzills experiments amb cordes de longituds L, L/2, 2L/3... 
• Relacionaven aquests nombres amb l'armonia de la música. 

EUCLIDI ( 325-265 a.C)

És l'autor dels Elements, una col·lecció de 13 llibres on s’analitza, entre d’altres coses, la geometria del pla i alguns aspectes de la geometria de l’espai.  A la geometria plana només s’hi permeten línies rectes i  cercles. A l’espai es permeten plans, cilindres i esferes. 

Autor dels Elements, una col·lecció de 13 llibres on s’analitza, entre d’altres coses, la geometria del pla i alguns aspectes de la geometria de l’espai. A la geometria plana només s’hi permeten línies rectes i cercles.  A l’espai es permeten plans, cilindres i esferes.

La geometria que s’ensenya a l’escola es la que va desenvolupar Euclidi. El més interessant d’aquesta obra es que va introduir la demostració. Demostració: sèrie de passos lògics que ens porten a un resultat a partir d’unes definicions inicials. Avui les matemàtiques es centren en aquests processos de demostració.

ARQUÍMEDES (287 - 212 a.C)

És el més gran dels matemàtics. Més que un matemàtic, era un enginyer que aplicava les matemàtiques al món natural. En la geometria serà recordat per la seva obra sobre cercles, esferes i cilíndres. Obra que associem al nombre π i que els grecs veiem com la rao entre el perímetre d’un cercle i el seu diàmetre.

Aplicacions de la geometría grega: 

• Astronomia: van entendre la forma i el moviment dels planetes i la relació amb el Sol i la Lluna.
• Enginyeria: grans màquines basades en el principi de la palanca. 
• Construcció de vaixells i edificis (Partenó), etc

ERATÒSTENES (276-194 a.C.) 

va calcular el tamany de la terra usant

geometría. 

Durant el solstici d’estiu (dia de San Joan), el Sol estava practicament sobre de Siena (actual Asuán), perque es reflexava en el fons d’un pou molt profund. 

Aquell mateix dia, la sombra d’una alta columna indicava que el sol en Alexandria estava a 1/50 parts de cercle (uns 7,2º). 

Una caravana de camells tardava 50 dies en anar d’Alexandria a

Siena. Els camells recorren una distancia de 100 estadis als dia. 

Distancia total 5.000 estadis. 

5.000 x 50 = 250.000 estadis (un estadi 157 metres) = 39.250km

Actualment la circumferència de la terra fa 39.840 km !

Jugar amb les formes: 

Tema 5. Geometría II

INTRODUCCIÓ, CONCEPTE I ORIGEN

Què és geometria?

"Ciència que té per objecte analitzar, organitzar i sistematitzar els coneixements espacials. En un sentit ampli es pot considerar la Geometria com la Matemàtica de lʼespai"

"Disciplina matemàtica que té per objecte lʼestudi rigorós de lʼespai i de les formes (figures planes i cossos) que en ell sʼhi puguin imaginar"

La Geometria està molt relacionada amb la Mesura, ja que ambdues estudien lʼespai. Concretament, la mesura de lʼespai o de les formes en una, dues o tres dimensions és un dels aspectes a descriure des de la Geometría, coincidint amb les tres magnituds anomenades espacials: la longitud, la superfície i el volum.

Cal dir, però, que la Geometria no és només Mesura, ni la Mesura és solament Geometria. La tendència a identificar-les ha produit un conflicte pedagògic que en molts casos ha provocat el fracàs escolar. Presentar des dʼun principi les idees geomètriques unides a la mesura, pressuposa que lʼinfant ja té contruides i assimilades les nocions espacials bàsiques, cosa que no acostuma a ser així

Orígen i evolució històrica

La Geometria té el seu origen en el procés dʼabstracció que la humanitat fa de les formes de la natura, idealitzant-les. Així es va formant la idea de recta, de triangle, de cercle, etc. Aquest procés dʼobservació es veu estimulat per la necessitat de controlar la natura. Sovint era necessari mesurar la terra i dividir-la o construir edificis amb una certa forma geomètrica.

El que ha tingut una gran influència és la geometria analítica de Descartes (s.XVII), que va introduir les coordenades cartesianes, molt útils en els estudis geomètrics.

Importància social i cultural

Lʼhome, des del naixement, està immers en un món, en un entorn, que arribarà a conèixer i representar, que pot explorar a través dels seus sentits. Les primeres experiències externes que té lʼinfant són, en la seva majoria, de tipus espacial. Fins i tot abans del desenvolupament del llenguatge, el nen explora lʼespai i els objectes que el rodejen a través, fonamentalment, de la vista i el tacte. Aquestes primeres percepcions del seu entorn lʼajuden a formar-se una idea del món en el que viu.

A partir de la percepció o coneixement dels objectes a través dels sentits es dóna pas a la representació mental de lʼespai. La representació externa en un pla és un intent de plasmar la representació mental que es té de lʼespai. Aquestes representacions gràfiques distorsionen, dʼuna forma o altra, el món real, i a vegades poden ser la causa dʼerrors i dificultats en intentar estudiar, mitjançant representacions bidimensionals, objectes tridimensionals.

Avui dia, la majoria de continguts geomètrics que sʼestudien a lʼescola tracten amb representacions gràfiques de lʼespai i els objectes del món real, en figures o diagrames. La importància dʼaquests estudis té molt a veure amb problemes actuals relacionats amb la mesura, amb desplaçaments o localització de posicions a lʼespai (com succeeix a disciplines com lʼarquitectura, el disseny, lʼart o les ciències naturals).

ELEMENTS GEOMÈTRICS I FORMES PLANES 

Els elements bàsics a partir dels quals es construeix la geometria són els punts, les rectes i els plans:

• Punt : serveix per descriure una posició a l’espai. No té dimensions (ni longitud ni àrea ni volum) i es pot representar de diverses formes, la més comú és “ · “ o una creu “ x “
• Recta: una recta està definida per dos punts. Existeix en una dimensió i està formada per infinits segments (un segment és el fragment de línia més curt que uneix dos punts). La recta és il·limitada.
• Pla: entitat de dues dimensions que conté infinits punts i infinites rectes. També es pot dir que qualsevol recta que tingui dos punts comuns a un pla està continguda en ell. Per determinar un pla només cal considerar una recta i un punt exterior a ella (o bé dues rectes secants).

Dues rectes que es tallen en un pla, el divideixen en 4 regions, també conegudes com angles. D’angles n’hi ha de diversos tipus: convexos (si són menors que 180º) o còncaus (si són majors que 180º).

Si les dues rectes divideixen el pla en 4 regions iguals, diem que són perpendiculars i que els angles que es formen són rectes (de 90º). En relació amb l’angle recte, podem trobar angles aguts (menors de 90º) i obtusos (majors de 90º).

Dues rectes que estan en el mateix pla i que no tenen cap punt en comú, s’anomenen paral·leles. O dit d’una altra forma: “per un punt exterior a una recta només passa una sola recta paral·lela”.

Formes planes

Un polígon és una regió del pla delimitada per línies rectes. Es poden classificar segons diversos criteris: el nombre de costats (triangles, quadrilàters,...); segons si són regulars o no; i segons lʼamplitud dels angles (polígons còncaus i polígons convexos).

Els elements bàsics dʼun polígon són:

• Costat: cadascún dels segments que conformen el polígon
• Vèrtex: el punt dʼunió de dos costats consecutius
• Diagonal: segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.
• Perímetre: la suma de tots els seus costats
• Angle interior: és el format per dos costats consecutius

En un polígon regular, podem distingir, a més:

• Centre: el punt que equidista de tots els vèrtexs. A aquesta distància sʼanomena radi.
• Apotema: segment que uneix el centre del polígon amb el centre dʼun costat

TRIANGLE

Un triangle és un polígon de tres costats. Si els tres costats tenen la mateixa longitud, el triangle sʼanomena equilàter; si el triangle té dos costats iguals, sʼanomena isòsceles; i si el triangle té els tres costats diferents, sʼanomena escalè.

QUADRILÀTERS

Els quadrilàters són polígons de 4 costats. Els seus angles interiors sumen 360º. Considerem diversos tipus:

Paral·lelograms: tenen els costats paral·lels dos a dos. Exemples són el quadrat, el rombe, el rectangle i el romboide.

Trapezis: són quadrilàters amb dos costats paral·lels anomenats base major i base menor. Hi ha el trapezi rectangle, el trapezi isòsceles i el trapezi escalè.

Trapezoides: són quadrilàters que no tenen cap costat paral·lel ni igual.

Dins de les figures corbes parlarem de la circumferència i de lʼel·lipse.

CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE

La circumferència és una línia tancada i plana on tots els punts estan a igual distància dʼun punt interior anomenat centre. Aquesta distància sʼanomena radi.

El cercle és la part del pla que queda dins la circumferència

La longitud de la circumferència ve donada per lʼexpressió L=2πr

Lʼàrea del cercle ve donada per lʼexpressió A= πr2

EL·LIPSE

Una el·lipse és una línia tancada i plana on la suma de les distàncies entre cada punt als focus (F i Fʼ) és una constant. Té un semieix major (a) i un semieix menor (b).

Lʼàrea de lʼel·lipse ve donada per A= πab

ELEMENTS GEOMÈTRICS I FORMES A L'ESPAI.

Els elements geometrics bàsics que considerarem són les rectes i els plans a lʼespai. 

Segons la posició relativa de dues rectes a lʼespai aquestes poden ser: 

• Rectes concurrents: són les rectes que es tallen en un punt. Dues rectes que es tallen en un punt estan contingudes en el mateix pla. 
• Rectes que no es tallen: poden estar contingudes en el mateix pla (rectes paral·leles); o no estar contingudes en el mateix pla (rectes que es creuen).

Partint de la definició de rectes perpendiculars, podem definir la perpendicularitat entre recta i pla: una recta que talla a un pla en un punt P és perpendicular al pla quan ho és a qualsevol recta del pla que passi pel punt P.

Dos plans a lʼespai poden donar lloc a dues situacions diferents: 

• Els dos plans no tenen cap punt en comú: es tracta de plans paral·lels 
• Els dos plans es tallen en una recta: plans concurrents.

Cossos geomètrics

Considerarem dos tipus de cossos geomètrics: els poliedres i els cossos de revolució. 

COSSOS POLIÈDRICS

Són aquells cossos limitats per polígons plans. Cada polígon sʼanomena cara del poliedre i els costats de cada polígon són les arestes. Els vèrtexs del polígon també ho són del poliedre.

Un poliedre és regular si totes les seves cares són polígons regulars iguals entre sí, i en cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares. Només existeixen 5 poliedres regulars:

És interessant conèixer la descomposició plana dels poliedres regulars:

Paral·lelepípede: cos tridimensional format per sis paral·lelograms. Un cas particular és el cub (sis cares quadrades), un altre és lʼortoedre (sis cares rectangulars); i un altre és el rombòedre (sis cares ròmbiques).

Prisma: té dues cares paral·leles i iguals anomenades bases i les cares laterals són paral·lelograms. Vegem el prisma hexagonal:

Piràmide: és un poliedre la base de qual és un polígon qualsevol, essent les cares laterals triangles amb un vèrtex comú que és el vèrtex de la piràmide

Cossos de revolució

Simplificant, podríem dir que són aquells que “roden”. A lʼetapa dʼinfantil ens fixarem en el con, el cilindre i lʼesfera.