El pensament matemàtic i la seva didàctica: Tema 5. Geometría II

INTRODUCCIÓ, CONCEPTE I ORIGEN

Què és geometria?

"Ciència que té per objecte analitzar, organitzar i sistematitzar els coneixements espacials. En un sentit ampli es pot considerar la Geometria com la Matemàtica de lʼespai"

"Disciplina matemàtica que té per objecte lʼestudi rigorós de lʼespai i de les formes (figures planes i cossos) que en ell sʼhi puguin imaginar"

La Geometria està molt relacionada amb la Mesura, ja que ambdues estudien lʼespai. Concretament, la mesura de lʼespai o de les formes en una, dues o tres dimensions és un dels aspectes a descriure des de la Geometría, coincidint amb les tres magnituds anomenades espacials: la longitud, la superfície i el volum.

Cal dir, però, que la Geometria no és només Mesura, ni la Mesura és solament Geometria. La tendència a identificar-les ha produit un conflicte pedagògic que en molts casos ha provocat el fracàs escolar. Presentar des dʼun principi les idees geomètriques unides a la mesura, pressuposa que lʼinfant ja té contruides i assimilades les nocions espacials bàsiques, cosa que no acostuma a ser així

Orígen i evolució històrica

La Geometria té el seu origen en el procés dʼabstracció que la humanitat fa de les formes de la natura, idealitzant-les. Així es va formant la idea de recta, de triangle, de cercle, etc. Aquest procés dʼobservació es veu estimulat per la necessitat de controlar la natura. Sovint era necessari mesurar la terra i dividir-la o construir edificis amb una certa forma geomètrica.

El que ha tingut una gran influència és la geometria analítica de Descartes (s.XVII), que va introduir les coordenades cartesianes, molt útils en els estudis geomètrics.

Importància social i cultural

Lʼhome, des del naixement, està immers en un món, en un entorn, que arribarà a conèixer i representar, que pot explorar a través dels seus sentits. Les primeres experiències externes que té lʼinfant són, en la seva majoria, de tipus espacial. Fins i tot abans del desenvolupament del llenguatge, el nen explora lʼespai i els objectes que el rodejen a través, fonamentalment, de la vista i el tacte. Aquestes primeres percepcions del seu entorn lʼajuden a formar-se una idea del món en el que viu.

A partir de la percepció o coneixement dels objectes a través dels sentits es dóna pas a la representació mental de lʼespai. La representació externa en un pla és un intent de plasmar la representació mental que es té de lʼespai. Aquestes representacions gràfiques distorsionen, dʼuna forma o altra, el món real, i a vegades poden ser la causa dʼerrors i dificultats en intentar estudiar, mitjançant representacions bidimensionals, objectes tridimensionals.

Avui dia, la majoria de continguts geomètrics que sʼestudien a lʼescola tracten amb representacions gràfiques de lʼespai i els objectes del món real, en figures o diagrames. La importància dʼaquests estudis té molt a veure amb problemes actuals relacionats amb la mesura, amb desplaçaments o localització de posicions a lʼespai (com succeeix a disciplines com lʼarquitectura, el disseny, lʼart o les ciències naturals).

ELEMENTS GEOMÈTRICS I FORMES PLANES

Els elements bàsics a partir dels quals es construeix la geometria són els punts, les rectes i els plans:

Punt : serveix per descriure una posició a l’espai. No té dimensions (ni longitud ni àrea ni volum) i es pot representar de diverses formes, la més comú és “ · “ o una creu “ x “
Recta: una recta està definida per dos punts. Existeix en una dimensió i està formada per infinits segments (un segment és el fragment de línia més curt que uneix dos punts). La recta és il·limitada.
Pla: entitat de dues dimensions que conté infinits punts i infinites rectes. També es pot dir que qualsevol recta que tingui dos punts comuns a un pla està continguda en ell. Per determinar un pla només cal considerar una recta i un punt exterior a ella (o bé dues rectes secants).

Dues rectes que es tallen en un pla, el divideixen en 4 regions, també conegudes com angles. D’angles n’hi ha de diversos tipus: convexos (si són menors que 180º) o còncaus (si són majors que 180º).

Si les dues rectes divideixen el pla en 4 regions iguals, diem que són perpendiculars i que els angles que es formen són rectes (de 90º). En relació amb l’angle recte, podem trobar angles aguts (menors de 90º) i obtusos (majors de 90º).

Dues rectes que estan en el mateix pla i que no tenen cap punt en comú, s’anomenen paral·leles. O dit d’una altra forma: “per un punt exterior a una recta només passa una sola recta paral·lela”.

Formes planes

Un polígon és una regió del pla delimitada per línies rectes. Es poden classificar segons diversos criteris: el nombre de costats (triangles, quadrilàters,...); segons si són regulars o no; i segons lʼamplitud dels angles (polígons còncaus i polígons convexos).

Els elements bàsics dʼun polígon són:

Costat: cadascún dels segments que conformen el polígon
Vèrtex: el punt dʼunió de dos costats consecutius
Diagonal: segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.
Perímetre: la suma de tots els seus costats
Angle interior: és el format per dos costats consecutius

En un polígon regular, podem distingir, a més:

Centre: el punt que equidista de tots els vèrtexs. A aquesta distància sʼanomena radi.
Apotema: segment que uneix el centre del polígon amb el centre dʼun costat

TRIANGLE

Un triangle és un polígon de tres costats. Si els tres costats tenen la mateixa longitud, el triangle sʼanomena equilàter; si el triangle té dos costats iguals, sʼanomena isòsceles; i si el triangle té els tres costats diferents, sʼanomena escalè.

QUADRILÀTERS

Els quadrilàters són polígons de 4 costats. Els seus angles interiors sumen 360º. Considerem diversos tipus:

Paral·lelograms: tenen els costats paral·lels dos a dos. Exemples són el quadrat, el rombe, el rectangle i el romboide.

Trapezis: són quadrilàters amb dos costats paral·lels anomenats base major i base menor. Hi ha el trapezi rectangle, el trapezi isòsceles i el trapezi escalè.

Trapezoides: són quadrilàters que no tenen cap costat paral·lel ni igual.

Dins de les figures corbes parlarem de la circumferència i de lʼel·lipse.

CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE

La circumferència és una línia tancada i plana on tots els punts estan a igual distància dʼun punt interior anomenat centre. Aquesta distància sʼanomena radi.

El cercle és la part del pla que queda dins la circumferència

La longitud de la circumferència ve donada per lʼexpressió L=2πr

Lʼàrea del cercle ve donada per lʼexpressió A= πr2

EL·LIPSE

Una el·lipse és una línia tancada i plana on la suma de les distàncies entre cada punt als focus (F i Fʼ) és una constant. Té un semieix major (a) i un semieix menor (b).

Lʼàrea de lʼel·lipse ve donada per A= πab

ELEMENTS GEOMÈTRICS I FORMES A L'ESPAI.

Els elements geometrics bàsics que considerarem són les rectes i els plans a lʼespai.

Segons la posició relativa de dues rectes a lʼespai aquestes poden ser:

Rectes concurrents: són les rectes que es tallen en un punt. Dues rectes que es tallen en un punt estan contingudes en el mateix pla.
Rectes que no es tallen: poden estar contingudes en el mateix pla (rectes paral·leles); o no estar contingudes en el mateix pla (rectes que es creuen).

Partint de la definició de rectes perpendiculars, podem definir la perpendicularitat entre recta i pla: una recta que talla a un pla en un punt P és perpendicular al pla quan ho és a qualsevol recta del pla que passi pel punt P.

Dos plans a lʼespai poden donar lloc a dues situacions diferents:

Els dos plans no tenen cap punt en comú: es tracta de plans paral·lels
Els dos plans es tallen en una recta: plans concurrents.

Cossos geomètrics

Considerarem dos tipus de cossos geomètrics: els poliedres i els cossos de revolució.

COSSOS POLIÈDRICS

Són aquells cossos limitats per polígons plans. Cada polígon sʼanomena cara del poliedre i els costats de cada polígon són les arestes. Els vèrtexs del polígon també ho són del poliedre.

Un poliedre és regular si totes les seves cares són polígons regulars iguals entre sí, i en cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares. Només existeixen 5 poliedres regulars:

És interessant conèixer la descomposició plana dels poliedres regulars:

Paral·lelepípede: cos tridimensional format per sis paral·lelograms. Un cas particular és el cub (sis cares quadrades), un altre és lʼortoedre (sis cares rectangulars); i un altre és el rombòedre (sis cares ròmbiques).

Prisma: té dues cares paral·leles i iguals anomenades bases i les cares laterals són paral·lelograms. Vegem el prisma hexagonal:

Piràmide: és un poliedre la base de qual és un polígon qualsevol, essent les cares laterals triangles amb un vèrtex comú que és el vèrtex de la piràmide