Tema 4. La mesura

INTRODUCCIÓ: MESURA I REALITAT


Idea intuitiva de magnitud i mesura


Les paraules magnitud i mesura ens suggereixen idees com “quantitat”, 

“amplitud”, “mesurar” o “dimensions” entre dʼaltres. En la vida quotidiana

sʼutilitzen aquests termes amb diversos significats, però sempre està la noció de 

“quelcom quantificable”.

Una primera aproximació al concepte de magnitud seria “quelcom que es pugui mesurar”. I, què significa mesurar? Podríem dir que mesurar consisteix en “obtenir un nombre que representi quanta quantitat hi ha dʼuna determinada magnitud”.

Per un mestre o mestra, serà necessari:

• Un apropament a lʼestructura matemàtica abstracta que permeti fonamentar aquests continguts. 
• Una presa de consciència de la manera com lʼinfant ha de prendre contacte amb distintes experiències de comparació i quantificació que el portaran poc a poc a la comprensió del procés de mesura 
• Ús adequat dʼunitats i instruments de mesura lligats a diferents magnituds: longitud, superfície, capacitat-volum, massa-pes, temps y diners.

Origen

És una activitat molt antiga. Primitivament, no es feien mesures, es feien comparacions directes i això és el que fan els infants. (ex. Això passarà per la porta? Ho intenten…)

El conflicte principal a l’hora d’establir a mesura és quan elegim un patró. Lʼelecció dels patrons o unitats de mesura va seguir una evolució que passa per diferents períodes:

• Període Antropomètric. Les unitats escollides es basaven en el propi cos. Polzades, les passes, els peus...
• Període Ergonomètric: Fer servir unitats en funció de l’ús que fas de les coses. Exemple: el barril de petroli, la corda, la rova, la faneca.
• Període convencional: Totes les nacions es posen d’acord per marcar un sistema internacional d’unitats. La més problemàtica ha set el temps. El metre, el kg, el segon.

Els nens comencen per comparar les coses amb parts del seu cos; 

posteriorment prenen objectes de referència; i, finalment, se nʼadonen de la 

necessitat dʼadoptar una unitat de mesura comú per tal de comunicar-se amb la 

resta dʼinfants

Situacions de mesura:

• Comparació directa. Es dóna quan comparem dos objectes directament. Ex: Tens dos llapis i dius: quin és més llarg? No estem quantificant. 
• Comparació indirecta. Pot passar que dos objectes no es puguin comparar directament entre si o que sigui difícil fer-ho. Es pot utilitzat un element que faixi d'intermediari per tal d'establir aquesta comparació. Ex: Vull saber quin dels dos arbres té un tronc més gruixut. Amb infants ho podem fer amb una corda, amb els braços... Agafar una poma i una taronja. Posen les dues a una balança.
• Necessitat d’ordenar i classificar. Quan es comparen més de dos objectes respecte d'una determinada magnitud, a vegades és necessari organitzar-los segons aquest criteri. Ex: Quan tenim molts objectes iguals ho podem classificar per tamanys. Ex: regletes de Cuisenaire.
• Necessitat d'unitat de mesura: T’has de posar d’acord en una unitat patró. Hi ha casos en que directament no pots fer una comparació. Quina classe és més gran? La dels peixets o la dels crancs? Contant les rajoles. El pes es pot fer amb saquets. Posem a una balança els saquets a un costat i l’objecte a l’altre costat. Ex: la poma pesa 7 saquets. 
• Necessitat de fraccionar la unitat
• Necessitat de fraccionar la unitat
• Necessitat d'un instrument de mesura

CONCEPTES I PROCEDIMENTS RELACIONATS AMB LES MAGNITUDS I LA SEVA MESURA

Conceptes bàsics:

• Magnitud: qualitat o propietat que pot ser quantificada i mesurada. Es pot comparar usant nombres. La llargada, la superfície, el volum, el pes...  Unes són més físiques (longitud) que altres.
• Quantitat: la quantitat de magnitud (longitud, pes...) que presenta un objecte. És el que et permet dir que aquest és més llarg que l’altre, encara que ho mesuris amb centímetres o amb una altra mesura.
• Mesura: el valor numèric que li assignes a la quantitat.
• Unitat de mesura: quantitat que sʼadopta com a referència per mesurar una magnitud en un objecte. La mesura assignada serà el nombre de vegades que la quantitat de magnitud de lʼobjecte contingui la unitat. Unitat o patró a la qual està referida la mesura. Quan dic 25º dic 25º centígrads.

En la vida quotidiana es sol identificar el terme “quantitat” amb  

el terme “mesura”, però hem dʼentendre que una quantitat de magnitud (per 

exemple, la longitud dʼun objecte) existeix independentment de que la mesurem 

o no.

Exemples:

• El Joan pesa 70 kg: magnitud, el pes; Mesura 70; Unitat el Kg; la quantitat és molt o poc
• Aquesta cançó dura 3 minuts i mig. Magnitud: la durada; la quantitat: el temps; la mesura: 3.5; la unitat els minuts

Les magnituds contínues i discretes:

• Continues: El pes: 1mg, 2,4grams... la longitud: 3 cm, 3,1... en general les magnituds físiques són contínues. Prenen valors reals, pots variarles contínuament: una cosa la pots estirar de forma contínua, no a salts... Temperatura, pes, temps, longitud...
• Discretes: són aquelles que només poden prendre valors sencers i es mesuren amb nombres naturals ja que consten dʼunitats aïllades i indivisibles. Els diners.  Encara que tinguis cèntims, més petits no en pots tenir. És un número sencer. Ex2: La quantitat d'alumnes d'una aula. 

Mètodes de mesura:

• Directes: Quan poden agafar la unitat patró i contar-la quantes vegades hi ha. Ex. Jo tinc una capsa, miro quantes vegades puc posar la capsa a la taula (5). Comptant rajoles. Aquest és més llarg que aquest, hi queb menys líquid...Principalment es treballarà la longitud i el pes
• Indirectes: La mateixa mesura d’abans,  però en canvi de comptar totes les rajoles, compto les d’un costat, les d’altre i multiplico. És a dir, quan fem càlculs. Amb el temps no poden fer comparacions indirectes. 

Exemples : lʼàrea dʼuna classe es pot trobar de forma directa comptant les rajoles. També es pot trobar de forma indirecta a través de les mesures de les dues dimensions (llarg i ample), emprant la fórmula que tots coneixem

ESTUDI D'ALGUNES MAGNITUDS


Quan ja tenen assolides les maneres de fer una mesura, agafen un patró per poder fer comparacions, mesures... Amb pams per la longitud, amb peses per pes.  

A infantil s’empraran unitats no convencionals.

La longitud és la magnitud més assequible a l’etapa d’Educació Infantil; el pes és més complicada ja que s’associa amb el volum; la capacitat també és una magnitud molt complexa ja que la forma dels recipients enganya la percepció dels infants; el temps és la magnitud més complicada de totes ja que no és fàcil realitzar comparacions directes o indirectes. 

LONGITUD

• Llenguatge associat. Hi ha molts termes habituals aplicats a la longitud: llarg-curt, ample-estret, alt-baix, gran-mitjà-petit, gruixut-prim, prop-lluny, més/menys llarg que, tan llarg com, etc. Cal distingir entre longitud (dʼun objecte) i distància (entre objectes), i sʼha de presentar diverses activitats per treballar ambdós significats
• Unitats de mesura.  
• La unitat de mesura de longitud en el S.I. és el metre, amb els seus corresponents múltiples i submúltiples (mm, dm, m, dam, hm, km). 
• Lʼestructura dʼaquest sistema de mesura es correspon amb la del sistema de numeració decimal, el que permet que ambdós continguts es recolzin mútuament en el procés dʼaprenentatge
• Instruments. Els instruments utilitzats per mesurar longituds sʼadapten també al context, donant lloc a una diversitat dʼinstruments: regla, cinta mètrica, metre de fuster, peu de rei...
• Procediments de mesura directes i indirectes. 
• Els mètodes directes consisteixen en comprovar directament, normalment a través dʼun instrument de mesura, quantes vegades està continguda o es pot superposar la unitat sobre la longitud de lʼobjecte a mesurar. A vegades això no és possible i sʼutilitzen relacions geomètriques per calcular una mesura a partir dʼunes altres. 
• Els principals procediments indirectes de mesura de longitud es basen en el Teorema de Thales, en el Teorema de Pitàgores o en el càlcul de longituds dʼarc (per superfícies corbes).

SUPERFÍCIE

• Llenguatge associat. Per parlar del tamany en relació amb la superfície sʼacostumen a fer servir termes com extens, ampli-reduït, gran-mitjà-petit, etc.
• Unitats de mesura. Lʼàrea o superfície és una magnitud de dues dimensions, derivada de la longitud. Així és com es sol considerar, per la qual cosa, les unitats en el S.I. vénen donades en funció de les unitats de longitud: el metre quadrat (m2) es defineix com la superfície dʼun quadrat de costat 1 metre. Aquest té associat els seus múltiples i submúltiples. En algunes situacions es fan servir altres unitats com per exemple la hectàrea (un hectòmetre quadrat) o lʼàrea (un decàmetre quadrat).
• Comparació directa i indirecta. Per tal de comparar dues superfícies de forma directa es poden superposar o, en el cas de que no tinguin una forma semblant, pavimentar lʼuna sobre lʼaltra (“tallar i enganxar”). Això es pot fer perque lʼàrea no varia amb els canvis de forma, és a dir, es conserva. En la pràctica, no acostuma a ser possible la comparació directa i es sol recòrrer a recobrir una superfície amb lʼaltra o també a quadricular les superfícies (que implica ja un procés de mesura).
• Procediments de mesura directes i indirectes. La mesura directa de superfícies sʼefectuaria mitjançant un recobriment o quadriculant la superfície a mesurar. Aquest mètode pot resultar llarg i  tediós tot i que necessari a lʼinici de lʼaprenentatge. És per això que el més habitual és mesurar lʼàrea de forma indirecta a través de mesures de longitud (fet que dóna lloc a les conegudes fórmules per lʼàrea dʼalgunes figures)

VOLUM/ CAPACITAT

• Llenguatge associat. Els termes més usuals són: ple-buit, hi cap més-hi cap menys, gran-mitjà-petit, espaiós-reduït,...
• Distinció capacitat/ volum. Matemàticament són indistingibles, però presenten matisos que els diferencien en el seu ús quotidià: sʼacostuma a entendre que el volum és el que ocupa un cos, i la capacitat és el que hi cap en un recipient o espai buit
• Unitats. La dualitat volum-capacitat dóna lloc a dos sistemes de mesura diferents. Usualment es fa servir el litre com a mesura de capacitat, amb els seus múltiples i submúltiples, mentre que pel volum es fa servir el metre cúbic (m3). Cal comentar que ambdós sistemes es poden fer servir sempre. Lʼequivalència entre els dos sistemes sʼestableix a partir de la igualtat: 1 litre = 1 decímetre cúbic (1l = 1dm3) 
• Comparació i mesura. A Primària es poden realitzar comparacions directes o indirectes de volum o de capacitat, aquesta última mitjançant el trasvassament de líquids. També es poden realitzar mesures directes de capacitat amb unitats no convencionals i convencionals, mitjançant lʼús de recipients graduats o fent servir un determinat recipient com a unitat de mesura

MASSA/ PES

• Llenguatge associat. Els termes més usuals són pesat-lleuger i els relatiusa unitats i instruments.
• Diferència entre massa i pes. no són la mateixa magnitud. La massa podríem dir que és la “quantitat de matèria” dʼun cos, mentre que el pes és la força amb que la terra lʼatrau. si estiguéssim a la Lluna, el nostre pes variaria (seríem més lleugers), però la nostra massa quedaria invariant
• Unitats. En el S.I. la massa és la única magnitud que per tradició te una unitat amb prefixe, el kilogram, basada en el gram. Els múltiples i submúltiples segueixen el sistema decimal, al igual que la majoria de magnituds
• Comparació i mesura: Dificultats específiques. Quan tenen lloc les primeres experiènces de percepció i comparació del pes, existeix el perill dʼuna associació errònia entre els conceptes de pes i de volum: els nens pensen que lʼobjecte més gran pesa més. A través de situacions dʼaprenentatge adequades els nens sʼadonaran que no és així. A més, el pes és una magnitud difícil de percebre (no es veu) i difícil de comparar, en el cas en que les diferències de pes són petites. És per això que des de pràcticament un principi es fa ús de la balança (lʼinstrument de mesura per excel·lència). Amb ella, els infants poden fer primer comparacions directes i indirectes, i després realitzar medicions amb unitats no convencionals (bossetes plenes de sorra, llaunes...) i convencionals (peses de diferents tamanys).

TEMPS

• Llenguatge associat. Hi ha nombroses paraules que fan referència a algun aspecte temporal: ahir-avui-demà, abans, després, ara, durant, aviat-tard, molta-poca estona, ràpid-lent, hora, dia, setmana, any, rellotge...
• Característiques diferencials i dificultats que presenta.
• És una magnitud que presenta una gran dificultat de comprensió per als infants a que no pot ser observat directament, sinó a través dʼinstruments
• No es pot percebre pel sentits. Com a conseqüència, els nens triguen molt de temps en apreciar-lo
• Aspectes necessaris per a l'elaboració de la noció de temps: ordre i durada. Primer es va desenvolupant la idea dʼordre, i després la de durada (que donarà lloc a la mesura del temps). No obstant, des de molt petit lʼinfant es familiaritza amb paraules relatives a la durada del temps (“una estona”, “una hora”, “dos dies”, etc.) tot i que no sàpiga el que signifiquen realment. El nen ha de comprendre: 
• Que hi ha sèries de successos que ocorren en ordre temporal
• Que entre successos diferents hi passen intervals de temps amb una durada determinada,.
• La mesura del temps: unitats i instruments. 
• La unitat de temps en el S.I. és el segon. Els seus múltiples immediats són el minut i lʼhora, però nʼhi ha dʼordre superior que no corresponen al sistema sexagesimal: el dia, la setmana, el mes, lʼany, el segle, el mil·leni,...
• Lʼinstrument usual de mesura és el rellotge, que pot ser analògic o digital. El model digital és el més senzill però no es correspon sempre amb el llenguatge que fem servir. El model analògic és el més difícil dʼinterpretar, ja que requereix un domini de la lateralitat, una distinció de les dues busques i una combinació de posicions, amb el que la seva lectura és difícil. Altres instruments no convencionals que poden servir per mesurar el temps són els rellotges de sol, els de sorra, el goteig dʼuna aixeta...

DINERS

• Característiques diferencials. 
• És una magnitud discreta, tot i que la unitat principal acostuma a admetre fraccionament amb un límit.
• No requereix un procediment de mesura:  el preu dʼuna cosa no sʼobté mesurant, sinó llegint una etiqueta o preguntant
• El diner suposa un sistema dʼintercanvis fonamentat en símbols materials (monedes i bitllets dʼaparences diferents, segons el seu valor).
• Tractament a l'aula. Es planteja en tres passos: 
• Reconeixement de monedes
• Establiment dʼequivalències entre elles 
• La utilització dels diners en situacions pràctiques